Halaman
Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Penulis : Endah Budi Rahaju Kusrini R. SulaimanSitti Maesuri Tatag Yuli Eko SMasriyah Mega Teguh BudiartoIsmail Ilustrasi, Tata Letak : Direktorat Pembinaan SMP Perancang Kulit : Direktorat Pembinaan SMP Buku ini dikembangkan Direktorat Pembinaan SMP Ukuran Buku : 21 x 30 cm Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008 510.07CON Contextual Teaching and Learning Matematika: Sekolah Menengah Pertama/ Madrasah Tsanawiyah Kelas VIII Edisi 4/Endah Budi Rahaju,...[et. al].-- Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008. Vi, 232 hlm.: ilus.; 30 cm. Bibliografi: hlm. 227-228 Indeks.ISBN1. Matematika- Studi dan PengajaranI. JudulII. Sulaiman, RIII. Eko , Tatag Yuli SIV. Budiarto, Mega TeguhVI. KusriniVII. Maesuri, SittiVIII, Masriyah IX. Ismail.
KATA SAMBUTAN Salah satu upaya untuk melengkapi sumber belajar yang relevan dan bermakna guna meningkatkan mutu pendidikan di Sekolah Menengah Pertama (SMP), Direktorat Pembinaan SMP mengembangkan buku pelajaran Matematika untuk siswa kelas VII, kelas VIII, dan kelas IX. Buku pelajaran ini disusun berdasarkan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional No. 22 Tahun 2006 Tentang Standar Isi, No. 23 Tahun 2006 tentang Standar Kompetensi Lulusan, dan berdasarkan kriteria buku pelajaran yang dikembangkan oleh Badan Standar Nasional Pendidikan. Buku pelajaran ini merupakan penyempurnaan dari bahan ajar kontekstual yang telah dikembangkan Direktorat Pembinaan SMP dalam kaitannya dengan kegiatan proyek peningkatan mutu SMP. Bahan ajar tersebut telah diujicobakan ke sejumlah SMP di provinsi Kalimantan Selatan, Kalimantan Timur, Sulawesi Tengah, Sulawesi Tenggara, Sulawesi Utara, dan Gorontalo sejak tahun 2001. Penyempurnaan bahan ajar menjadi buku pelajaran yang bernuansa pendekatan kontekstual dilakukan oleh para pakar dari beberapa perguruan tinggi, guru, dan instruktur yang berpengalaman di bidangnya. Validasi oleh para pakar dan praktisi serta uji coba empiris ke siswa SMP telah dilakukan guna meningkatkan kesesuaian dan keterbacaan buku pelajaran ini. Buku pelajaran Matematika ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan, dan dinyatakan memenuhi syarat untuk digunakan sebagai buku pelajaran di SMP. Sekolah diharapkan dapat menggunakan buku pelajaran ini dengan sebaik-baiknya sehingga dapat meningkatkan efektivitas dan kebermaknaan pembelajaran. Pada akhirnya, para siswa diharapkan dapat menguasai semua Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar secara lebih mendalam, luas serta bermakna, kemudian dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari. Saran perbaikan untuk penyempurnaan buku pelajaran ini sangat diharapkan. Terimakasih setulus-tulusnya disampaikan kepada para penulis yang telah berkontribusi dalam penyusunan buku pelajaran ini, baik pada saat awal pengembangan bahan ajar, ujicoba terbatas, maupun penyempurnaan sehingga dapat tersusunnya buku pelajaran ini. Terimakasih dan penghargaan juga disampaikan kepada semua pihak yang telah membantu terwujudnya penerbitan buku pelajaran ini. Jakarta, Juli 2008 Direktur Pembinaan SMP
ivPendahuluanPetunjuk Penggunaan BukuBuku Matematika SMP Klelas VIII ini disusun untuk memenuhikebutuhan masyarakat akan buku referensi yang memenuhi StandarIsi yang telah ditetapkan pemerintah. Disamping itu, buku ini jugabermaksud untuk memenuhi tuntutan pemerintah dalam rangkapenyedian buku bermutu sesuai standar yang telah ditetapkan olehBSNP.Buku ini berisi tujuh bab yaitu: bab 1 tentang Faktorisasi bentukaljabar, bab 2 tentang Relasi dan fungsi, bab 3 tentang PersamaanGaris Lurus, bab 4 tentang Sistem Persamaan Linier Dua Variabel,bab 5 tentang Teorema Pythagoras, bab 6 tentang Lingkaran danbab 7 tentang Bangun Datar Sisi Datar. Disampingmempertimbangkan Standar Isi, urutan bab memperhatikan hierarkimateri. Tiap bab dibagi menjadi beberapa subbab. Banyak subbabsesuai dengan keluasan dan kedalaman materi yang dituntut olehSandar Kompetensi dan Kompetensi Dasar.Untuk mempelajari buku ini, ikutilah mulai uraian bagian awalhingga bagian akhir secara berurutan. Tidak disarankan siswalangsung mempelajari rangkuman pada bagian akhir bab tanpamempelajari bagian awal. Hal itu dikarenakan banyak bagian yangharus diikuti, dilakukan siswa untuk membangun suatu konsep.Lakukanlah kegiatan baik itu berupa kerja kelompok maupunKegiatan Lab Mini untuk dapat memperdalam pengetahuanmutentang suatu konsep. Lab Mini disusun untuk memberikanpengalaman pada siswa untuk dapat menduga, menganalisis data,menyimpulkan dan mengkonstruksi suatu ide.Setelah mempelajari tiap subbab, ujilah pemahamanmu denganmengerjakan soal latihan. Setelah mempelajari suatu bab cobalah ujipemahamanmu dengan mengerjakan soal evaluasi bab. Kerjakan soalevaluasi secara mandiri terlebih dahulu (jangan melihat kuncijawaban terlebih dahulu). Setelah kamu mengerjakan, cocokkan hasilpekerjaanmu dengan kunci atau petunjuk pengerjaan yang terdapatdi bagian akhir buku ini.Lakukanlan refleksi dari kegiatan belajarmu, baik yang terkaitdengan diri kamu sendiri maupun yang terkait dengan pembelajaranyang dilakukan Bapak/Ibu gurumu.
vDAFTAR ISIKata Pengantar......................................................................... iiiPendahuluan......................................................................................... ivDaftar Isi......................................................................... vBAB 1Faktorisasi Suku Aljabar1.1. Suku Banyak......................................................... 21.2. Menentukan Faktor-faktor Suku Aljabar.................... 14Refleksi......................................................................... 2 5Rangkuman ................................................................. 2 5Evaluasi Bab 1 ............................................................ 26BAB 2Relasi dan Fungsi2.1.Relasi.................................................................... 3 02.2. Fungsi (Pemetaan) .................................................. 382.3. Menghitung Nilai Fungsi ....................................... 48Refleksi ....................................................................... 5 3Rangkuman ................................................................. 5 3Evaluasi Bab 2 .............................................................. 53BAB 3Persamaan Garis Lurus3.1.Pengertian Persamaan Garis Lurus........ ............... 5 63.2. Gradien......................... ..................................... 623.3. Menentukan Gradien dengan Menghitung Satuan...... 713.4. Menentukan Persamaan Garis Lurus................... 76Refleksi ....................................................................... 8 5Rangkuman ................................................................. 8 5Evaluasi Bab 3 .............................................................. 86BAB 4Sistem Persamaan Linear Dua Variabel4.1.Persamaan Linear dengan Dua variabel..................... 904.2. Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel........... 95Refleksi ....................................................................... 106Rangkuman ................................................................. 106Evaluasi Bab 4 ............................................................. 107BAB 5Teorema Pythagoras5.1. Teorema Pythagoras ....................................... ............ 1105.2. Menggunakan Teorema Pythagoras............................ 120Refleksi ........................................................................ 124Rangkuman .................................................................. 124Evaluasi Bab 5 ............................................................. 125
viBAB 6Lingkaran6.1. Lingkaran dan Bagian-bagiannya ....................................... 1286.2. Keliling dan Luas Lingkaran ...................................... 1326.3. Sudut Pusat, Busur, dan Juring Lingkaran .................. 1426.4. Sifat Garis Singgung Lingkaran.................... .................... 1486.5. Lingkaran Dalam dan Lingkaran Luar ........................ 1566.6. Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran ............... 160Refleksi ..................................................................... 169Rangkuman ............................................................... 167Evaluasi Bab 6 ............................................................ 169BAB 7Bangun Ruang Sisi Datar7.1. Kubus dan Balok ............................ ......................... 1727.2.Jaring-jaring Kubus dan Balok............................... .............. 1887.3. Besaran dalam Kubus dan Balok......................................... 1947.4.Prisma..................................................................................... 2047.5. Limas...................................................... ............................ 214Refleksi ..................................................................... 220Rangkuman .............................................................. 220Evaluasi Bab 7 ........................................................... 222Petunjuk Penyelesaian / Kunci Evaluasi....................................................... 225Daftar Pustaka................................................................................................... 2 2 7Glosarium........................................................................................................... 2 2 9Indeks.................................................................................................................... 2 3 1
Faktorisasi Suku AljabarStandar KompetensiMemahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar1.1 Melakukan operasi aljabar. 1.2 Menguraikan bentuk aljabar ke dalam factor-faktornya.Bab 1
2 Bab. 1 Faktorisasi Suku AljabarMasih ingatkah kamu tentang penjumlahan bilangan bulat? Coba kerjakan beberapa soal berikut.2+ (-3) = . . .-4 - (-5) = . . .7 + (-2) = . . .Jika kamu lupa, sebaiknya kamu pelajari kembali. Pemahaman tentang penjumlahan bilangan bulat diperlukan untuk dapat memahami materi pada Bab 1 ini dengan baik. Misalkan kamu akan berbelanja 5kg gula dan 7 kg beras. Jika harga gula adalah g rupiah perkilogram dan harga beras adalah b rupiah perkilogram, maka uang yang harus kamu bayar adalah 5g + 7b rupiah.Bentuk 5g+7b adalah salah satu contoh bentuk aljabar. Pada bentuk aljabar 5g+7b, g dan b disebut variabel. Bilangan 5 disebut koefisien dari g dan 7 disebut koefisien dari b. 5g dan 7b disebut suku dari bentuk aljabar 5g+7b. Jadi 5g+7b terdiri dari dua suku. Bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku disebut suku dua(binomial), yang mempunyai tiga suku disebut suku tiga (trinomial) dan yang terdiri dari dari satu suku disebut suku satu(monomial). Bentuk aljabar yang mempunyai dua suku atau lebih disebut suku banyak (polinomial).Berikut ini beberapa contoh dari bentuk aljabar.1. 2h+6s-7k adalah contoh suku tiga (trinomial). A1.1Suku BanyakApa yang akan kamu pelajari? Mengelompokkan suku-suku sejenis dari suatu suku banyak. Menyederhanakan suku banyak Menentukan hasil kali suatu bilangan dengan suku dua. Menentukan hasil kali suku satu dengan suku dua. Menentukan hasil kali suku dua dengan suku dua. Menentukan perpangka-tan suku duaKata Kunci: Suku-suku sejenis Suku banyak (polinomial) Suku satu (monomial) Suku dua (binomial) Suku tiga (trinomial) Sifat DistributifPengertian suku banyakA
Matematika SMP Kelas VIII 3 Variabelnya adalah h, s dan k. Bilangan 2 adalah koefisien dari h, 6 adalah koefisien s dan -7 adalah koefisien k.2. -4w + 8 adalah contoh suku dua (binomial). Variabelnya adalah w. Bilangan 8 disebut dengan konstanta. Nama Suku BanyakContohSuku dua (Binomial)5h+2 f8 c+2C2 + 3CSuku tiga (Trinomial) 3h+2f+m52c+36w+4C2-5c+2Suku banyak yang lain (dapat memiliki suku-suku yang ter-batas):c4+ r3+2c+5+z2x3+ 4x2+8t+z-33c3+3f+3h+2m+2x-5Bila suatu bentuk hanya memiliki satu suku, maka bentuk itu disebut monomial (suku satu) dan tidak termasuk dalam suku banyak. Berikut contoh suku satu 7h, 3x2 z, 6cdrAgar mudah dibaca dan difahami, penulisan suku banyak biasanya memperhatikan urutan pangkat variabel dan urutan huruf yang dipakai sebagai variabel.a) 7526325332−++−+tayas sering ditulis sebagai 7263252335−+−++syaat.b) 233225826542tpyxpx++++−+− sering ditulis 82564222323+−+++xtyppMenyederhanakan Bentuk AljabarIngatkah kamu bagaimana mengkombinasi dan menyederhanakan bentuk aljabar seperti h + h + k + s + k + c + h ?Ingat bahwa ada beberapa variabel yang sama. Kita menyebutnya suku sejenis. Jika bentuk aljabar tersebut panjang dan membingungkan, bentuk aljabar tersebut dapat dikelompokkan berdasarkan suku-suku yang sama. Bila bentuk aljabar tersebut dikelompokkan berdasarkan suku-suku yang sama, maka akan diperoleh( h + h + h ) + ( k + k ) + s + c = 3h + 2k + s + c .Contoh 1
4 Bab. 1 Faktorisasi Suku AljabarBerikut ini diberikan beberapa contoh dari beberapa bentuk aljabar yang sering dilihat dalam buku-buku matematika. a) 2x - 5 - 3x + 1 = 2x - 3x - 5 + 1= (2-3)x -4= -1x - 4. -1x selanjutnya boleh hanya ditulis dengan -x, demikian juga 1xboleh hanya ditulis dengan x.b) 5k + 4j - 2h -8k + 6 - 7h = 5k - 8k + 4j -2h - 7h +6= -3k +4j -9h+6.Contoh 2Contoh 3Masih Ingatkah kamu?Suku pada bentuk aljabar dapat berupa bilangan atau variabel atau suatu perkalian antara bilangan dan variabel. Suku sejenis adalah suku-suku yang memuat variabel yang sama. Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel.
Matematika SMP Kelas VIII 5 Kerjakan Bersama-samaUntuk memudahkan memahami cara menyederhanakan bentuk aljabar, kita dapat menggunakan bantuan model.Model yang digunakan di sini dinamakan ubin aljabar.Bentuk 2x - 5 - 3x + 1 dapat dimodelkan seperti berikut.Model tersebut dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan model-model sejenis. Jika pada pengelompokan itu terdapat pasangan nol, maka semua pasangan nol yang ada dihapus.diperolehJadi bentuk sederhana dari 2x-3x-5+1 adalah -x-4Ingat ! Catatan Ubin aljabar dapat dibuat dari potongan kertas dengan ukuran tertentu.
6 Bab. 1 Faktorisasi Suku AljabarSelanjutnya pikirkan dan diskusikan!1. Tuliskan bentuk-bentuk aljabar berikut dalam bentuk yang paling sederhana. a. 4x - 2xb. 5 + 2x - 1 c. 3x - 6x + 4 d. 8 + 3x - x - 6 e. 6 + 6x f. 3x + 3x - xg. 4x2 - xh. 5x2 + 2x - 3 i. 2x3 - 3x -x2 + 2x + 52. Gunakanlah ubin aljabar untuk menjelaskan bahwa z - 4z = - 3z.3. Cobalah kamu tulis satu contoh dan satu non-contoh dari suku satu, suku dua dan suku tiga. Jelaskan mengapa disebut contoh dan mengapa non-contoh!1. Gunakanlah model ubin aljabar untuk menyederhanakan -y+ 5 + 3y – 4.2. Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut. a. x + 1,3 + 7xb. 7y2 – 3y + 4y + 8y2 + 4y c. c2 + 2c – c2 – c3.Tiga orang siswa menyederhanakan 3p – 4p. Masing-masing memperoleh hasil –1, –p, –1p. Tulislah jawaban manakah yang benar dan jelaskan alasanmu.4.Tulislah tiga bentuk aljabar yang merupakan binomial atau suku dua. Jelaskan mengapa ketiga bentuk tersebut disebut binomial.5. Tentukan apakah setiap bentuk aljabar berikut merupakan po-linomial. Jika ya, tentukan apakah sebagai monomial, binomial, atau trinomial.6. Pertanyaan Terbuka. Tulislah bentuk aljabar yang memuat 4 suku dan dapat disederhanakan menjadi 2 suku. a. 2x b. –5 c. abcc− d. 3x2 + 4x – 27.Ukuran dari dua sudut suatu segi- tiga ditunjukkan pada gambar di samping. Tentukan jumlah dari ukuran kedua sudut tersebut.Latihan 1.1.a
Matematika SMP Kelas VIII 7 Perkalian Bentuk Aljabar2x + 3Pada bagian ini, kamu akan mempelajari perkalian suku satu dan suku dua dari bentuk aljabar. Contoh berikut menjelaskan pentingnya perkalian tersebutAndi diminta oleh bu guru untuk menghitung luas persegipanjang yang panjangnya 2 cm lebihnya dari lebarnya. Berapa luas persegipanjang tersebut?Misalkan lebar persegipanjang tersebut l cm, maka panjang persegipanjang tersebut adalah )2(+=lpcm. Dengan demikian luas persegipanjang tersebut adalah lllpL×+=×=)2(cm2. Pada persoalan ini, kita memerlukan perkalian suku satu dan suku dua. Untuk memudahkan memahami perkalian suku satu dengan suku dua, kerjakan dahulu Lab Mini berikut ini.PERKALIAN SUKU DUAKerjakan secara Bersama-samaBahan: ubin aljabarUbin aljabar dinamai berdasarkan luas suatu persegi atau persegipanjang. Luas suatu persegi-panjang merupakan hasil kali dari panjang dan lebarnya.Kamu dapat menggunakan ubin aljabar untuk memo-delkan persegi panjang yang lebih kompleks. Persegipan-jang-persegipanjang ini akan membantu kamu memahami bagaimana menentukan hasil kali suku dua yang ben-tuknya sederhana. Panjang dan lebar masing-masing menyatakan faktor yang dika-likan.Tugasmu!Kerjakanlah dengan teman kelompokmu bagaimana menentukan x(x + 2). Caranya adalah seperti berikut.• Buatlah sebuah persegipanjang dengan panjang x + 2 dan lebar x. Gunakan ubin aljabar untuk menandai faktor yang dikalikan.• Gunakan tanda itu sebagai pedoman mengisi persegi-panjang dengan ubin aljabar.B
8 Bab. 1 Faktorisasi Suku AljabarPada bagian Lab Mini, kita telah menentukan luas suatu persegipanjang dengan menggunakan bantuan model aljabar. Sekarang kita akan menggunakan sifat distributif yang telah kamu pelajari di Kelas VII.Cobalah kamu selesaikan perkalian suku satu dan suku dua berikut tanpa menggunakan model, tetapi gunakan sifat distributif.a. 7(2x + 5) b. (3x – 7) 4xTentukan luas persegipanjang itu dengan menggunakan dua cara.Cara I:menjumlahkan luas ubin-ubin aljabar yang menutupi persegi- pan-jang itu.Cara II:menggunakan rumus luas suatu persegipanjang dan menerapkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.• Bandingkan jawaban yang kamu peroleh dari kedua cara di atas. Diskusikanlah!1. Nyatakan apakah setiap pernyataan berikut benar atau salah. Periksa jawabanmu dengan menggunakan ubin aljabar.a.x(2x + 3) = 2x2 + 3x b.2x(3x + 4) = 6x2 + 8x2. Tentukan hasil setiap perkalian berikut dengan menggunakan ubin aljabar.a.x(x + 5) b. 2x(x + 2) c. 3x(2x + 1)3. Misalkan Agus mempunyai sebuah taman yang ukuran panjang setiap sisinya x meter. Jika Agus bermak-sud memperluas taman itu dengan panjang menjadi dua kali dari ukuran semula dan lebarnya ditambah 3 meter. Bagaimana luas dari taman yang baru tersebut.
Matematika SMP Kelas VIII 9 B.2. Suku dua dan suku duaMasalah GenetikaKeterkaitan. Berabad-abad orang telah tertarik mengapa satu generasi berbeda satu sama lain dan mengapa anak mirip dengan orang tuanya.a. Jika ayah dan ibu dari suatu keluarga berkulit hitam, apakah ada kemungkinan anak dari orang tua itu berkulit putih? Jelaskan alasanmu. b. Jika ayah dan ibu dari suatu keluarga berhidung mancung, apakah ada kemungkinan anak dari orang tua tersebut berhidung pesek? Jelaskan alasanmu.Dalam diri manusia terdapat gen yang menentukan sifat keturunan. Misalkan, sepasang orang tua mempunyai rambut keriting dengan genotif Kk. Gen K menunjukkan gen dominan untuk rambut keriting dan gen k menunjukkan gen resesif untuk rambut lurus. Huruf di bagian kotak paling kiri dan atas menyatakan gen orang tua. Sedangkan huruf di dalam kotak menunjukkan kemungkinan kombinasi gen.Contoh 3Perkalian suku satu dengan suku dua dapat dimodelkan sebagai suatu persegipanjang yang dibentuk dengan menggunakan ubin aljabar.• Bentuk aljabar (x + 2) 2x dimodelkan sebagai persegipanjang yang panjang x + 2 dan lebarnya 2x.• Hasil dari (x + 2) 2x menyatakan luas persegipanjang, dapat ditentu-kan dengan dua cara.Cara I:Jumlahkan luas ubin-ubin aljabar pembentuk persegipanjang. Yaitu: x2 + x2 + x + x + x + x = 2x2 + 4xCara II:Menerapkan sifat distributif: (x + 2) 2x = (x) 2x + (2) 2x = 2x2 + 4x
10 Bab. 1 Faktorisasi Suku AljabarApabila gen orang tua digabungkan maka semua kombinasi yang mungkin adalah (K + k)(K + k) = KK + Kk + Kk + kk = KK + 2Kk + kkArti dari kombinasi gen di atas adalah, kemungkinan jenis rambut anak dari kedua orang tua tersebut adalah rambut keriting atau rambut lurus.(K + k)(K + k) adalah satu contoh perkalian suku dua dengan suku dua.Coba tuliskan contoh lain bentuk perkalian suku dua dengan suku dua. Ubin aljabar dapat juga digunakan untuk membantumu dalam memahami perkalian suku dua dengan suku dua. Berikut ini diberikan beberapa masalahKerjakan bersama-sama1. Selesaikanlah perkalian (x + 3)(x + 2) dengan mengacu pada Lab Mini halaman 8. Jelaskan langkah-langkah yang kamu gunakan.2. Sebuah kebun berbentuk persegipanjang. Panjang kebun itu 5 m lebihnya dari dua kali lebar kebun. Pada kedua sisi kebun terdapat jalan dengan lebar 1 m. Luas jalan pinggir kebun adalah 24 m2. Berapakah panjang dan lebar kebun tersebut?Untuk menjawab permasalahan ke-2 tersebut, kamu dapat menggunakan ubin aljabar guna memodelkan permasalahan di atas. Eksplorasi. Misal x menyatakan lebar kebun. •Maka 2x + 5 menyatakan panjang kebun. •x + 1 menyatakan lebar kebun dan jalan.• 2x + 6 menyatakan panjang kebun dan jalan.• Jadi x(2x + 5) = luas kebun.• (x + 1)(2x + 6) = luas kebun dan jalan.Sketsa Kebun
Matematika SMP Kelas VIII 11 Lebar kebun adalah 6 m.Panjang kebun (2x + 5) m= (2(6) + 5) m = 17 m.Coba periksa apakah hasil yang diperoleh sudah cocok, jika x = 6 kamu substitusikan pada persamaan (*)!Apakah kamu dapat menyelesaikan soal ini dengan cara lain? Jelaskan!3. Selesaikan dengan menggunakan langkah-langkah yang kamu gunakan!a. (2x + 3)(3x + 5) b. (2x + 1)(5x – 3)Cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan hasil kali dua buah suku dua dengan cara seperti berikut ini.( a + b) ( c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d1. (2x + 5)(x+2) = 2x.x + 2x.2+ 5.x+5.2 = 2x2 + 4x + 5x + 10 = 2x2 + 9x + 10Contoh 4Penyelesaian: (x + 1)(2x + 6) – x(2x + 5) = 24 (Mengapa?)2x2+6x + 2x + 6 – 2x2 – 5x = 24 (Mengapa?) (2x2 –2x2) + (6x + 2x –5x) + 6 = 24 (Mengapa?)3x + 6 = 24 (Mengapa?)3x = 18 (Mengapa?) x = 6 (Mengapa?)(x + 1)(2x + 6) – x(2x + 5) = 24( * )
12 Bab. 1 Faktorisasi Suku Aljabar2. (-x+3) (3x-2) = (-x) 3x + (-x).(-2) + 3.3x + 3 (-2) = -3x2 + 2x + 9x - 6 = -3x2 + 11x - 6B.3. Perpangkatan Suku satu dan Suku DuaKalian masih ingat tentang perpangkatan suatu bilangan pada pelajaran di Sekolah Dasar?Kalian masih ingat tentang perpangkatan suatu bilangan pada pelajaran di Sekolah Dasar?•Apa arti 73? Jelaskan!• Bagaimana menentukan nilai dari 73? Berapakah nilainya?• Apa arti dari k4? k4 merupakan salah satu contoh perpangkatan suku satuDiskusikan.1. Pak Budi mempunyai kebun berbentuk persegi dengan panjang sisi (x + 5). a. Nyatakan luas kebun Pak Budi!b. Apakah luas kebun Pak Budi merupakan bentuk perpangkatan?c. Jika merupakan bentuk perpangkatan, perpangkatan suku berapakah luas kebun pak Budi?d. Nyatakan luas kebun pak Budi dengan menggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan!e. Langkah apa yang kamu gunakan untuk mengerjakan (d)? Sebutkan!f. Adakah cara lain yang dapat kamu gunakan untuk menyelesaikan (e)? Jika ada, sebutkan!2. Bagaimana caramu menentukan hasil (x – 2)3? Jelaskan!
Matematika SMP Kelas VIII 13 1. Jelaskan bagaimana kamu menentukan hasil kali dari x dan 2x – 1.2. Tulislah hasil kali dari x dan 2x + 3 dengan menggunakan persegipanjang di samping.3. Tentukan hasil perkalian berikut.a. –2(x + 8) b. pq(pq + 8) c. –3y(6 – 9y + 4y2) d. (5b – 4) 524. Tentukan hasil perkalian berikut.a. (x + 2)(2x + 4) b. (x + 4)(-2x-3) c. (x – 1)(3x - 4)5. Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut.a. 14(b + 3) + 8bb. 3(8 + a) + 7(6 + 4a) c. 3(x + y) + 4(2x + 3y)6. Berpikir Kritis. Apakah 2ab = 2a ́ 2b? Jelaskan jawabanmu!7. Geometri. Tentukan ukuran luas daerah yang diarsir pada gambar di samping dalam bentuk paling 8. Apakah 2ab = 2a x 2b? Jelaskan jawabanmu!9. Gambarlah suatu daerah persegipanjang yang menyatakan perkalian dari (x + 3) dan (2x + 1).10. Tentukan hasil perpangkatan berikuta. (3+ 2t)2b. (x – 4)3c. (x – 1)3 + (x + 7)2Latihan 1.1.b
14 Bab. 1 Faktorisasi Suku AljabarBingkai FotoLia ingin mem-beri bingkai pada hiasan dindingnya yang berben-tuk persegi-panjang. Dia tahu bahwa luas hiasan dinding tersebut adalah 221 cm2, tetapi lupa berapa panjang dan lebarnya.Cobalah kamu bekerja dengan pasanganmu untuk membantu Lia menentukan berapa panjang dan lebar hiasan dinding tersebut tanpa mengukur.a. Jelaskan mengapa 221 bukan merupakan hasil kali dari dua bilangan yang terdiri dari 1 angka?Dit. PSMP,2006Apa yang akan kamu pelajari?• Memfaktorkan suku bentuk aljabar sampai dengan suku tiga.• Menyederhanakan pem-bagian suku • Menyelesaikan perpang-katan konstanta dan sukuKata Kunci:• Memfaktorkan• Faktor• FPB• Selisih dua kuadrat• Kuadrat Sempurna1.2Menentukan Faktor-faktor Suku Aljabarb. Gunakanlahkertas berpetak. Guntinglah beberapa persegi dengan ukuran 10x10, beberapa persegi-panjang dengan ukuran 1x10, dan beberapa persegi dengan ukuran 1x1. Gunakan potongan-potongan tersebut untuk membuat persegipanjang yang menyatakan hiasan dinding tersebut. Berapakah panjang dan lebarnya?c. Ulangilah proses tersebut untuk menentukan pasangan bilangan prima yang hasil kalinya sebagai berikut.(i) 133 (ii). 161 (iii) 209
Matematika SMP Kelas VIII 15 Menggunakan Ubin Aljabar pada PemfaktoranMemfaktorkan suatu bilangan artinya menyatakan bilangan itu sebagai perkalian beberapa bilangan. Ingat kembali berapakah faktor 12? Ya, kamu bisa mencarinya dengan pohon faktor. Bilangan 12 dapat dituliskan sebagai12 = 1x212 = 3x412 = 3x2x212 = 6x2Pada notasi 12112×=, kita ingat 1 dan 12 merupakan faktor dari 12. Demikian juga untuk yang lainnya, 2, 3, 4 dan 6 merupakan faktor dari 12.Perhatikan perkalian suku satu dengan suku dua berikutxxyyx64)32(2+=+×Pada perkalian bentuk aljabar di atas, 2x dan (2y+3) masing-masing merupakan faktor dari xxy64+.Pada kegiatan ini, kita akan bekerja sebaliknya. Diberikan bentuk aljabar, dapatkah kita mencari masing-masing faktornya. Untuk kegiatan tersebut kita akan menggunakan ubin aljabar sebagai media belajarnya. Untuk itu, kerjakan terlebih dahulu Lab Mini berikut.Misalkan sebuah persegipanjang (x+3)dan lebar (x+1), maka (x+1) (x+3)= x2 + 4x+3. BerartiFaktor dari x2 + 4x + 3 adalah (x+1) dan (x+3).Kamu dapat menggunakan ubin alajabar sebagai model dalammemfaktorkan suku tiga yang berbentuk ax2 + bx + c.Tugasmu:Bekerjalah bersama untuk memfaktorkan x2 + 3x + 2.• Modelkan suku tiga tersebut.PEMFAKTORANKerjakan secara bersama-samabahan :ubin aljabarA
16 Bab. 1 Faktorisasi Suku AljabarCara memfaktorkan suku tiga dapat digambarkan dengan skema berikut.• Tempatkan ubin x2 dan ubin1 seperti yang ditunjukan berikut.• Lengkapilah persegipanjang itu dengan ubin x.• Karena sebuah persegipanjang dapat dibentuk maka x2 +3x +2 dapat difaktorkan. Panjang persegipanjang itu adalah (x + 2) dan lebarnya (x+1), maka faktor dari x2 +3x+2 adalah (x+1) dan (x+2)1. Tentukan apakah suku banyak berikut dapat difaktorkan. Periksa jawabanmu dengan menggunakan ubin alabar.a. x2 + 6x + 8b. x2 +5x +6c. x2 +7x + 3d. 3x2 + 8x +5e. 5x2 - x + 16f. 8x2 - 31x -42. Berikan contoh suku tiga yang dapat difaktorkan dan suku tiga yang tidak dapat difaktorkan.Jumlah dari bilangan-bilangan ini sama dengan bHasil kali dari bilangan-bilangan ini sama dengan c
Matematika SMP Kelas VIII 17 Faktorkan 3x3 – 9x2 + 15x.Jawab:Menentukan FPB dari 3x3, 9x2, dan 15x dengan cara 3x3 = 3x3 = 3x x2 9x2 = 32 x2 = 3x 3x 15x = 35x = 3x5FPB dari 3x3, 9x2, dan 15x adalah: 3xSelanjutnya menggunakan sifat distributif untuk memisahkan faktor persekutuannya.3x3 – 9x2 + 15x = 3x (x2) – 3x (3x) + 3x (5) = 3x (x2 – 3x + 5)Untuk memfaktorkan ax2 + bx + c dengan a = 1 salah satu cara adalah: daftarlah faktor-faktor dari a dan c. Gu-nakanlah faktor-faktor tersebut untuk menuliskan suku dua-suku dua. Kemudian ujilah dengan nilai b yang benar.Faktorkanlah 3x2 – 7x – 6.Memfaktorkan dengan Memisahkan FPBMemfaktorkan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan memisahkan FPBnya. Berikut ini cara menfaktorkan 2x2 – 10x.FPB dari 2x2 dan 10x adalah 2x. Dengan menggunakan sifat distributif dapat ditulis 2x2 – 10x = 2x (x) – 2x (5) = 2x (x - 5).Jadi pemfaktoran juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu memisahkan FPB-nya dan menggunakan sifat distributif.Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh lain berikut ini.Menfaktorkanax2 + bx + c,jika a tidak 1Contoh 1Contoh 2BC
18 Bab. 1 Faktorisasi Suku AljabarJawab:Daftarlah faktor-faktor dari 3, yaitu 1 dan 3 ; -1 dan –3.Daftarlah faktor-faktor dari –6, yaitu 1 dan –6; –1 dan 6; –2 dan 3; dan 2 dan –3.Gunakan faktor-faktor tersebut untuk menuliskan binomial dengan cara menempatkan faktor dari 3 dalam tanda dan faktor dari –6 dalam tanda o pada bentuk ( x + o)( x + o).Carilah perkalian dua binomial yang suku tengahnya (jumlah dari hasil perkalian dalam dan luar) adalah –7x.Dengan cara seperti di atas, faktorkanlah 6x2 – x – 2.Soal 1( 1 x + 1 ) ( 3 x + –6 ) –6x + 3x = 3x SALAH( 1 x + –6 ) ( 3 x + 1 ) 1x – 18x = –17x SALAH( 1 x + –1 ) ( 3 x + 6 ) 6x – 3x = 3x SALAH( 1 x + 6 ) ( 3 x + –1 ) –1x + 18x = 17x SALAH( 1 x + 2 ) ( 3 x + –3 ) –3x + 6x = 3x SALAH( 1 x + –3 ) ( 3 x + 2 ) 2x – 9x = –7x BENAR3
Matematika SMP Kelas VIII 19 Jadi bentuk a2 – b2 dapat difaktorkan menjadi (a+b) (a-b).Memfaktorkan Selisih dari Dua KuadratKerja KelompokKerjakan secara berpasangan setiap pertanyaan pada kelompok A, B, dan C yang terletak pada tabel berikut.1. Bagaimana pola dari setiap pasangan faktor di atas?2. Tentukan hasil perkaliannya.3. Bagaimana kamu menggunakan cara mencongak untuk mengalikan secara cepat suku dua-suku dua seperti pada setiap kelompok tersebut.Seperti yang kita lihat pada bagian “Kerjakan Bersama-sama”, kadang kadang ketika mengalikan suku dua dengan suku dua, suku tengah dari hasil perkalian tersebut adalah 0, seperti pada perkalian dalam Kelompok A di atas.Kelompok A dapat ditulis sebagai selisih dua kuadrat atau ditulis sebagai a2 – b2?4. Dengan menggunakan simpulan di atas, cobalah kamu memfaktorkan bentuk aljabar berikut.a. x2– 64. b. 4x2– 121 c. 9y2– 255. Berpikir Kritis.Misalkan seorang temanmu memfaktorkan 4x2 – 121 menjadi (4x + 11) (4x – 11). Kesalahan apakah yang dilakukan oleh temanmu? Jelaskan!D
20 Bab. 1 Faktorisasi Suku AljabarTentukan hasil perkalian suku dua berikut. a. (a + b) (a + b) b. (a – b) (a – b)Hasil dari perkalian-perkalian di atas disebut suku tiga bentuk kuadrat sempurna.Memfaktorkan Suku Tiga Bentuk Kuadrat SempurnaPada bagian “Kerjakan Bersama-sama” halaman 24, kamu telah mengalikan suatu suku dua dengan dirinya sendiri seperti pada Kelompok B dan C . Perkalian seperti ini disebut mengkuadratkan suku dua. Hasilnya disebut suku tiga bentuk kuadrat sempurna. Jadi sebaliknya faktor-faktor dari suku tiga bentuk kuadrat sempurna adalah dua binomial yang tepat sama.Diskusikan!Bagaimana kamu mengetahui bahwa suatu suku tiga merupakan bentuk kuadrat sempurna?a. Tulislah suatu suku tiga yang lain yang merupakan suku tiga bentuk kuadrat sempurna.Soal 3Ingat ! faktor-fak-tor yang kamu peroleh dengan mengalikannya kembali.Soal 2Soal 3Soal 1Faktorkan bentuk aljabar berikut.Amati bentuk pemfaktorannya ke-mudian temukan polanya!a.x2+ 8x + 16 b. x2 - 8x + 16Selisih dari Dua KuadratE
Matematika SMP Kelas VIII 21 b. Jelaskan bagaimana kamu mengetahui bahwa suatu suku tiga merupakan bentuk kuadrat sempurnaKadang-kadang suatu bentuk kuadrat tampak seperti tidak dapat difaktorkan. Jika kamu temukan hal seperti itu, terlebih dahulu pisahkan faktor persekutuannya. Kemudian dari faktor-faktor yang ada, periksalah apakah ada yang dapat difaktorkan kembaliFaktorkanlah 10x2– 40.Jawab: 10x2– 40 = 10(x2– 4) = 10(x + 2)(x – 2)Jadi 10x2– 40 = 10(x + 2)(x – 2).Contoh 3Selisih dari Dua KuadratBentuk Kuadrat SempurnaFaktor persekutuan dari 10 x2dan 40 adalah 10Faktor x2-4
22 Bab. 1 Faktorisasi Suku Aljabar1. Tulislah panjang dan lebar dari setiap persegipanjang berikut sebagai suatu suku dua. Kemudian tulislah suatu bentuk aljabar untuk setiap persegipanjang berikut.2. Tentukan FPB dari suku-suku pada setiap polinomial berikut.a. 15x + 21 b. 6a2 – 8ac. 8p3 – 24p2 + 16p3. Jika tiap bentuk aljabar berikut menyatakan luas persegipanjang, nyatakan panjang dan lebarnya dalam bentuk suku dua (binomial). a. x2 + 4x + 3 b. x2 – 3x + 2 c. x2 + 3x – 4 d. x2 + 5x + 6 e. x2 – 3x – 4 f. x2 + x – 24. Berpikir Kritis Misal n suatu bilangan bulat. Mengapa n2 + n pasti bilangan genap? Jelaskan jawabanmu!5. Lengkapilan pernyataan berikut.a. x2 – 6x – 7 = (x + 1)(x - ....) b. k2 – 4k – 12 = (k – 6)(k + .....)c. t2 + 7t + 10 = (t + 2)(t +....)d. c2 + c – 2 = (c + 2)(c - .....)6.Jika x2 + bx + c dapat difaktorkan menjadi perkalian suku dua, a. Jelaskan apa yang kamu ketahui tentang faktor-faktornya jikac > 0b. Jelaskan apa yang kamu ketahui tentang faktor-faktornya jikac < 0Latihan 1.2c.b.a.
Matematika SMP Kelas VIII 23 7. Faktorkan setiap bentuk aljabar berikut!a. x2 + 6x + 8 b. a2 – 5a + 6 c. d2 – 7d + 12d. t2 + 7t – 18 e. x2 + 12x + 35 f. y2 – 10y + 168. Pertanyaan Terbuka Untuk setiap soal berikut, tentukan masing-masing tiga bilangan yang berbeda untuk melengkapi setiap bentuk aljabar berikut sehingga dapat difaktorkan sebagai perkalian dua suku dua. Tunjukkan faktor-faktornya!a. x2 – 3x – Fb. x2 + x +Fc. x2 + x + F9. Faktorkanlah setiap bentuk aljabar yang berpola ax2 + bx + c dengan a = 1 berikut ini.a. 2x2 – 15x + 7 b. 5x2 – 2x – 7 c. 2x2 – x – 3d. 8x2 – 14x + 3 e. 2x2 – 11x – 21 f. 3x2 + 13x – 1010. Faktorkanlah setiap bentuk aljabar berikut!a. x2 + 2x + 1 b. t2 – 144 c. x2 – 18x + 81 d. 15t2 – 15 e. x2 – 49 f. a2 + 12a + 36g. 4x2 – 4x + 1h. 16n2 – 56n + 49i. 9x2 + 6x + 1j. 9x2 – 6x + 1k. 2g2 + 24g + 72l. 2x3 – 18x 11. a. Bentuk aljabar (2x + 4)2 sama dengan 4x2 +F+ 16. Berapakah suku tengahnya?
24 Bab. 1 Faktorisasi Suku Aljabarb. Cobalah kamu melengkapi pernyataan berikut.(3x + 4)2 = 9x2+ F+ 16.12. Menulis. Buatlah rangkuman tentang prosedur untuk memfaktorkan suatu suku tiga yang berbentuk kuadrat sempurna. Berilah paling sedikit dua contoh!13. a. Pertanyaan TerbukaTulislah suatu suku tiga yang bentuknya kuadrat sempurna. b. Jelaskan bagaimana kamu mengetahui bahwa suku tiga di atas merupakan kuadrat sempurna. c. Tuliskan juga suku tiga yang bukan kuadrat sempurna.14. Faktorkanlah setiap bentuk aljabar berikut! a. 41m2 – 91 b. p2 – 2p + 4 c. n2 –
Matematika SMP Kelas VIII 25 Refleksi•Setelah mempelajari Bab 1 coba kamu ingat, adakah bagian yang belum kamu fahami? Jika ada, coba pelajari kembali atau diskusikan dengan temanmu!• Buatlah rangkuman tentang apa yang telah kamu fahami dan catatlah hal-hal yang sulit kamu pahami. Masih ingatkah kamu, a. Bagaimana cara menyederhanakan bentuk aljabar? b. Bagaimana cara menfaktorkan bentuk ?• Pada saat pembelajaran apakah kamu merasakan tidak senang karena takut, jemu, sulit memahami ataukah merasakan senang? Sampaikan hal itu kepada Bapak/Ibu gurumu. Rangkuman• Untuk menyederhanakan suatu bentuk aljabar dapat digunakan berbagai cara, yaitu: - Mengelompokkan suku-suku sejenis, kemudian menghitungnya. - Menggabungkan suku-suku sejenis dengan cara menjumlahkan koefisien-koefisiennya.• Beberapa macam bentuk aljabar dijelaskan berikut ini.- Suku satu (monomial) dapat berupa angka, variabel. - Suku banyak (polinomial) adalah penjumlahan dan pengurangan dari beberapa suku satu.-Polinomial dengan dua suku disebut suku dua (binomial) - Polinomial dengan tiga suku disebut suku tiga (trinomial) Cara memfaktorkan bentuk : Jumlah dari bilangan-bilangan ini sama dengan b100510510 5×=×=Hasil kali dari bilangan-bilangan ini sama dengan c
26 Bab. 1 Faktorisasi Suku AljabarUntuk nomor 1 sampai 5 pilihlah satu jawaban yang benar.1. ...86)23(=−+−xxx a. 8922−+xxb. -12x2 + 12x - 8 c. 8922−+−xx d. 8922−−xx2. ...)32(2=−−y a. 9642++yy b. 9642++−yy c. 9642+−yy d. 9642−+−yy3. t2 - t -12 = . . . a. )3()4(−+tt b. )3()4(−−tt c. )3()4(++tt d. )3()4(+−tt4. -6p2 + 16p - 8 = . . . a. )42()23(−+pp b. )42()23(−+−pp c. )42()23(−−+−pp d. )42()23(++−pp5. Berikut ini yang merupakan bentuk kuadrat sempurna adalah . . .a. 9 y2- 12 y - 4 b. 4 y2 - 12 p + 9c. 9 y2+12 y - 4 d. 4y2 +12 p - 9Untuk soal nomor 6 sampai 10 kerjakan disertai dengan langkah-langkahnya.Evaluasi Bab 1
Matematika SMP Kelas VIII 27 6. Tulislah suatu bentuk aljabar untuk setiap situasi berikut. Kemudian sederhanakanlah bentuk aljabar tersebut.a. Anita membawa 4 kotak yang masing-masing berisi sebanyak t kelereng dan 3 kotak masing-masing berisi sebanyak r + 2 kelereng.b. Anita membeli 5 bungkus kue yang masing-masing seharga Rp. x,00 rupiah. Kemudian Anita membeli permen seharga Rp 15.000,00 dan kerupuk seharga Rp 5.000,00.7. Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut.a. 2n – 3nb. 2k – 5b – b – kc. 2x2 – 4 + 3x2 – 6 – x28. Sederhanakanlah setiap bentuk aljabar berikut.a. 18y + 5(7 + 3y)b. 30(b + 2) + 2b c. x + 5x + 8(x + 2) 9. Tentukan hasil perkalian berikut.a. 7(3x + 5) b. y(y – 9) c. 7(–2a2 + 5a –11)d. –2(n – 6) e. 52(5w + 10)10.Tentukan hasil perpangkatan berikuta. (p – 3)2b. (2x – 1)2 c. (-2a + 1)2